概率论与数理统计笔记

随机事件和概率

随机实验（简称实验）得到样本点，样本点的集合构成事件，一个样本点构成基本事件，所有的样本点组成样本空间$\Omega$。

样本空间可以是不可数的，此时P(A)=0不意味着A为空集

因为事件是集合，集合的运算也对事件成立。有集合论和概率论的概念对照表。

将多次实验得到$A$的频率称为统计概率P(A)，有如下性质。

• 非负性 $0\le P(A)\le 1$
• 规范性 $P(\Omega)=1$
• 可加性 若$AB=\empty$，则$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

如果样本空间可数，同时基本事件发生概率相等，称这种随机实验为古典型实验。此数学模型称为古典概型，也叫等可能概型。

如果所有样本点都是某可测度的空间上的点，且空间任一区域的概率和该区域的测度成正比，与区域的形状无关，称这种随机实验为几何型实验，其概率称为几何概率。

数学上概率定义为满足下列性质的事件对实数的函数$P$

• 非负性 $0\le P(A)\le 1$
• 规范性 $P(\Omega)=1$
• 可列可加性 若所有$A_i$不相容，则$P(\bigcup_{i=0}^{+\infty} A_i)=P(A)+P(B)$
• 有限可加性 若所有$A_i$不相容，则$P(\bigcup_{i=0}^{n} A_i)=P(A)+P(B)$

定义条件概率，含义为一次随机实验中已知A发生情况下，B发生的概率。

$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

定义分割，如果$\bigcup A_i=\Omega$，且所有$A_i$都不相容，称$A_i$构成了$\Omega$的一个分割。

对于分割$A_i$，事件$B$有全概率公式（顺着因果链）

$P(B)=\sum P(A_i)P(B|A_i)$

对于分割$A_i$，事件$B$有贝叶斯公式（倒着因果链）

$P(A_i|B)=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{P(B)}=\frac{P(B|A_i)P(A_i)}{\sum P(A_i)P(B|A_i)}$

事件$A,B$互相独立当且仅当$P(AB)=P(A)P(B)$

事件$A_i$互相独立当且仅当对于任意两个$A_i$和$A_j$，其互相独立。

伯努利概型为$\Omega=\{A,\bar A\}$

随机变量及其分布

定义随机变量为样本点到实数的单射函数。通常用$X(w),Y(w),Z(w)$表示。

离散型随机变量

对于离散型随机变量定义随机变量的密度函数为$f_X(x)=P\{X=x\}$

两点分布

$X\sim B(1,p) \\ P\{X=1\}=p,P\{X=1\}=q\space(0\le p\le 1,q=1-p)$

二项分布

$X\sim B(n,p)\\ P\{X=k\}=C_n^kp^kq^{n-k},\space k=0,1,2,\dots,n(0<p<1.q=1-p)$

泊松分布

$X\sim P(\lambda)\\ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\space k=0,1,2,\dots(\lambda>0)$

当$X=B(n,p)$中$n\ge20,p\le0.05$时$P\{X=k\}\approx P\{P(np)=k\}$

定义分布函数$F(x)=P\{X\le x\}=\int_{-\infty}^xf(x)d x$，有如下性质

• 单调性
• 非负有界性 $0\le F(x)\le 1$
• 右连续
• $F(-\infty)=0;F(+\infty)=1$

连续形随机变量

对于连续型随机变量定义随机变量的密度函数$F(x)$，满足$F(x)=\int_{-\infty}^xf(u)du$，有以下性质

• $f_X(x)=F_X'(x)$

均匀分布

$X\sim U[a,b] \\f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a},&a\le x\le b,\\ 0,&others. \end{cases}$

指数分布

$X\sim E(\lambda)(\lambda>0) \\f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge 0,\\ 0,&others. \end{cases}$

正态分布

$X\sim N(\mu,\sigma^2) \\f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma}e^\frac{-(x-\mu)^2}{2\sigma^2}$

离散型随机变量函数的分布可以使用以下方法求出（设函数$g$单调）

$\begin{aligned} & F_Y(y)=P\{Y\le y\}=P\{g(X)\le y\}=P\{X\le g^-1(y)\}=\int_a^{g^{-1}(y)}f_X(x)dx\\ & f_Y(y)=F_Y'(y)=f_X(g^{-1}(y))\dot [g^{-1}(y)]' \end{aligned}$

多维随机变量及其分布

设$X(w)、Y(w)$是定义在$\Omega$上的两个随机变量，其整体$(X(w),Y(w))$称为二位随机变量。二维随机变量实际上是$\Omega$到$\R^2$的单射。

类似的，定义分布函数$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\}$，有以下性质

• 分别对$x$和$y$单调
• 非负性 $0\le F(x,y)\le 1$
• $F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0$
• $F(+\infty,+\infty)=0$
• 二维差分非负性$F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\ge 0,x1<x2,y1<y2$

定义二位随机变量关于$X$的边缘分布函数为$F_X(x)=P\{X\le x\}=P\{X\le x,y<+\infty\}$，对于Y类似

称随机变量$X,Y$相互独立当且仅当$\forall x,\forall y,\space F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y)$成立

定义二维离散型随机变量条件分布$P\{X=x_i|Y=y_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_i\}}{P\{Y=y_i\}}$

定义二维连续型随机变量条件分布$f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}$

定义二维连续型随机变量的密度函数$f(x,y)$，满足$F(x,y)=\int_{-\infty}^y\int_{-\infty}^xf(u,v)dudv$。有以下性质

• $\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
• $P\{(X,Y)\in G\}=\iint_Gf(x,y)dxdy$

多维随机变量函数的分布同样可以使用离散型随机变量函数的分布方法求出。

随机变量的数字特征

$\begin{aligned} & E(X)=\sum x_ip_i\\ & E(X)=\int xf(x)dx\\ & E(g(X_0,\dots,X_i))=\sum g(x_0,\dots,x_i)f(x_0,\dots,x_i)\\ & D(X)=E((X-E(X))^2) \\ & D(X)=\int (x-E(X))^2f(x)dx \\ & D(X)=E(X^2)-E(X)^2\\ & \sigma(X)=\sqrt{D(X)}\\ & cov(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))=E(XY)-E(X)E(Y)\\ & X^*=\frac{X-E(X)}{\sqrt{D(X)}}\\ & \rho(X,Y)=\frac{cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} \end{aligned}$

期望有线性性质（可加性，齐次性）；

常用分布的数学期望和方差

两点分布/二项分布$X\sim B(n,p)$

$E(X)=np$

$D(X)=np(1-p)$

泊松分布$X\sim P(\lambda)$

$E(X)=\lambda$

$D(X)=\lambda$

均匀分布$X\sim U[a,b]$

$E(X)=\frac{a+b}{2}$

$D(X)=\frac{(b-a)^2}{12}$

指数分布$X\sim E(\lambda)$

$E(X)=\frac 1\lambda$

$D(X)=\frac 1 {\lambda^2}$

正态分布$X\sim N(\mu,\sigma^2)$

$E(X)=\mu$

$D(X)=\sigma^2$

下文中$X,Y$均为随机变量。

称$X$的$k$阶原点矩，也称$k$阶矩为$E(X^k)$

称$X$的$k$阶中心矩为$E((X-E(X))^k)$

称$X,Y$的$k+l$阶混合矩为$E(X^kY^l)$

称$X,Y$的$k+l$阶混合中心矩为$E((X-E(X))^k(Y-E(Y))^l)$

$E(X)$是$X$的一阶中心矩；$D(X)$是$X$的二阶中心矩；$cov(X,Y)$是$X$和$Y$的二阶混合中心矩

定义$C_{ij}$为$X_i$和$X_j$的二阶混合中心矩，称下面的矩阵为$(X_1,X_2,\dots,X_n)$的协方差矩阵

$\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \dots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \dots & C_{2n} \\ \vdots & \vdots && \vdots \\ C_{n1} & C_{n2} & \dots & C_{nn} \end{bmatrix}$

数理统计的基本概念

研究对象的全体称为总体$X$​，总体的一部分个体称为样本$(X_1,X_2,\dots,X_n)$​。定义统计量$g(X_1,X_2,\dots,X_n)$​为样本为参数的函数，统计量也是个随机变量。对于样本类似的定义以下统计量。

样本平均值$\overline{X}=\frac1n\sum_{i=1}^nX_i$

样本方差$S^2=\frac1{n-1}\sum(X_i-\overline X)^2=\frac1{n-1}(\sum X_i^2-n\overline{X}^2)$

样本标准差$S=\sqrt{S^2}$

样本k阶(原点)矩$A_k=\frac1n\sum X_i^k$

样本k阶中心矩$B_k=\frac1n\sum (X_i-\overline X)^k$

样本协方差$S_{XY}=\frac1{n-1}\sum(X_i-\overline X)(Y_i-\overline Y)$

样本相关系数$R=\frac{S_{XY}}{S_X\cdot S_Y}$

对于$X\sim N(\mu,\sigma^2)$的总体，有以下数理统计基本定理

• $\overline X\sim N(\mu,\frac {\sigma^2}n)$
• $\overline X$和$S^2$独立
• $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$

参数估计

设总体$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$(X_1,X_2,\dots,X_n)$是取自$X$的样本，用样本值$(x_1,x_2,\dots,x_n)$估计$\mu$和$\sigma^2$就是参数估计问题。

点估计

点估计即把总体的未知参数估计作为某个确定的值或在某个确定的点上，也叫定值估计。

即对于分布函数$F(x,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)$（$\theta$为参数），求$\theta$的一个确定值。

令$\hat\theta_i(X_1,X_2,\dots,X_n)$为某种方法得到$\theta_i$的统计量。

矩估计

已知总体$X$的$k$阶矩$\mu_k=g_k(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)$，函数$g$已知。

则令$k=1\dots n$联立求解即可知所有的$\theta_i$。

极大似然估计

极大似然估计即求出所有的$\theta_i$，令样本出现的概率最大，似然函数$L(\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)$评估了样本出现的概率。

对于离散型总体，$L(\theta)=\prod p(x_i,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)$

对于连续型总体，$L(\theta)=\prod f(x_i,\theta_1,\theta_2,\dots,\theta_n)$

令函数$L$所有方向导数等于0即可求解所有的$\theta_i$。

估计量的评估

下文中$\hat\theta_i$指某种方法得到的估计量，是关于随机变量样本的函数，$\theta$指真值。

称$\hat\theta$为无偏估计量当且仅当$E(\hat\theta)=\theta$。（无偏性）

如$D(\hat\theta_1)<D(\hat\theta_2)$，称$\hat\theta_1$比$\hat\theta_2$有效。（有效性）

记$\hat\theta[n]$为样本容量为$n$下得到的估计量，如果对于任意$\varepsilon>0$，都有

$\lim_{n\rarr+\infty} P\{\hat\theta_n-\theta<\varepsilon\}=1$

称$\hat\theta$是$\theta$的一致估计量。（一致性）

区间估计

点估计只能得到一个估计值，我们需要知道估计值的可信度。

如果对于给定的概率$1-\alpha$，有

$P\{\hat\theta_1<\theta<\hat\theta_2\}=1-\alpha$

称随机区间$(\hat\theta_1,\hat\theta_2)$为参数$\theta$的置信区间，$\hat\theta_1$称为置信下限，$\hat\theta_2$称为置信上限，$1-\alpha$称为置信概率或置信度，$\alpha$一般取值$0.05$。

对于正态分布的总体，根据$\overline X\sim N(\mu,\frac {\sigma^2}n)$，置信水平$1-\alpha$有以下关于总体两个参数的置信区间。

参数$\mu$的置信区间

1. $\sigma^2$已知 $(\overline X -z_\frac\alpha2 \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\overline X +z_\frac\alpha2 \frac{\sigma}{\sqrt{n}})$
2. $\sigma^2$未知 $(\overline X -\frac{S_0}{\sqrt{n-1}}t_\frac\alpha2(n-1),\overline X +\frac{S_0}{\sqrt{n-1}}t_\frac\alpha2(n-1)$

参数$\sigma^2$置信区间

1. $(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_\frac \alpha 2(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\frac \alpha 2}(n-1)})$